Комплексное число z

Что такое комплексное число z?

Определение.

Комплексное число — это число вида

   

где a и b — действительные числа, то есть

   

  i — некоторое число, квадрат которого равен -1, то есть

   

   

(Читают: «компл’ексное», с ударением на «е»).

Запись z=a+bi называется алгебраической формой комплексного числа.

Число a — действительная часть комплексного числа; обозначают ее как a=Re z (от фр. reel — действительный);

bi — мнимая часть комплексного числа;

b — коэффициент при мнимой части; обозначают b=Im z (от фр. imaginaire — мнимый);

i — мнимая единица.

Например, z=5+7i — комплексное число, действительная часть которого Re z =5, мнимая — 7i, коэффициент при мнимой части — Im z =7.

Множество действительных чисел является подмножеством комплексных чисел, так как любое действительное число может быть представлено в виде комплексного как

   

(то есть действительное число — это комплексное число, мнимая часть которого равна нулю: b=0).

Множество комплексных чисел обозначают  C (от лат. complex — тесно связанный).

Комплексные числа, у которых действительная часть равна нулю, а коэффициент при мнимой части отличен от нуля, то есть числа вида z=0+bi называют также чисто мнимыми.

Помимо алгебраической формы комплексное число может быть представлено в тригонометрической и в показательной формах.

На плоскости с прямоугольными декартовыми координатами комплексное число z=a+bi изображается точкой с координатами (a;b) либо радиус-вектором с началом в точке O(0;0) и концом в точке (a;b).

Предположительно, впервые понятие мнимой величины ввел Дж. Кардано в труде «Великое искусство, или Об алгебраических правилах» (1545 г.). Однако, Кардано считал мнимые величины бесполезными.

Первым использовал мнимые величины на практике Р. Бомбелли (1572 г.) при решении кубических уравнений.

Термин «комплексное число» ввел в 1803 г. Л. Карно, но его употребление началось только после работ К. Гаусса (1831 г.).