Дифференциальное уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение Бернулли — это уравнение вида

$y' + p(x)y = q(x){y^n},$

где n≠0,n≠1.

Это уравнение может быть преобразовано при помощи подстановки

$z = {y^{1 - n}}.$

в линейное уравнение

$\frac{1}{{1 - n}}z' + p(x)z = q(x).$

На практике дифференциальное уравнение Бернулли обычно не приводят к линейному, а сразу решают теми же методами, что и линейное уравнение — либо методом Бернулли, либо методом вариации произвольной постоянной.

Рассмотрим, как решить дифференциальное уравнение Бернулли с помощью замены y=uv (метод Бернулли). Схема решения — как и при решении линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Примеры. Решить уравнения:

1) y’x+y=-xy².

Это дифференциальное уравнение Бернулли. Приведем его к стандартному виду. Для этого поделим обе части на x: y’+y/x=-y². Здесь p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Но для решения нам не нужен стандартный вид. Будем работать с той формой записи, которая дана в условии.

1) Замена y=uv, где u=u(x) и v=v(x) — некоторые новые функции от x. Тогда y’=(uv)’=u’v+v’u. Подставляем полученные выражения в условие: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².

2) Раскроем скобки: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые с v: [u’x+u]v+v’ux=-xu²v² (I) (слагаемое со степенью v, стоящее в правой части уравнения, не трогаем). Теперь требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: u’x+u=0. А это — уравнение с разделяющимися переменными u и x. Решив его, мы найдем u. Подставляем u=du/dx и разделяем переменные: x·du/dx=-u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xu≠0:

$\frac{{du}}{u} = - \frac{{dx}}{x}, \Rightarrow \int {\frac{{du}}{u} = - \int {\frac{{dx}}{x}} } , \Rightarrow \ln \left| u \right| = - \ln \left| x \right|,$

$\Rightarrow \ln \left| u \right| = \ln \left| {\frac{1}{x}} \right|, \Rightarrow u = \frac{1}{x}$

(при нахождении u С берем равным нулю).

3) В уравнение (I) подставляем [u’x+u]=0 и найденную функцию u=1/x. Имеем уравнение: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². После упрощения: v’=-(1/x)·v². Это уравнение с разделяющимися переменными v и x. Заменяем v’=dv/dx и разделяем переменные: dv/dx=-(1/x)·v². Умножаем обе части уравнения на dx и делим на v²≠0:

$\frac{{dv}}{{{v^2}}} = - \frac{{dx}}{x}, \Rightarrow \int {\frac{{dv}}{{{v^2}}} = - \int {\frac{{dx}}{x},} } \Rightarrow - \frac{1}{v} = - \ln \left| x \right| - C$

(взяли -С, чтобы, умножив обе части на -1, избавиться от минуса). Итак, умножаем на (-1):

$\frac{1}{v} = \ln \left| x \right| + C, \Rightarrow v = \frac{1}{{\ln \left| x \right| + C}}.$

(можно было бы взять не С, а ln│C│ и в этом случае было бы v=1/ln│Cx│).

4) Так как y=uv, подставляем найденные функции u и v:

$y = \frac{1}{{x(\ln \left| x \right| + C)}}.$

Ответ:

$y = \frac{1}{{x(\ln \left| x \right| + C)}}.$

2) 2y’+2y=xy².

Убедимся в том, что это — уравнение Бернулли. Поделив на 2 обе части, получаем y’+y=(x/2) y². Здесь p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Решаем уравнение методом Бернулли.

1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем эти выражения в первоначальное условие: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².

2) Раскрываем скобки: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие v: [2u’+2u]+2v’u=xu²v² (II). Требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: 2u’+2u=0, отсюда u’+u=0. Это — уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x. Решим его и найдем u. Подставляем u’=du/dx, откуда du/dx=-u. Умножив обе части уравнения на dx и поделив на u≠0, получаем: du/u=-dx. Интегрируем:

$\int {\frac{{du}}{u}} = - \int {dx, \Rightarrow \ln \left| u \right|} = - x, \Rightarrow u = {e^{ - x}}.$

3) Подставляем во (II) [2u’+2u]=0 и

$u = {e^{ - x}}, \Rightarrow 2v' \cdot {e^{ - x}} = x \cdot {e^{ - 2x}} \cdot {v^2}.$

Теперь подставляем v’=dv/dx и разделяем переменные:

$\frac{{2{e^{ - x}}dv}}{{dx}} = x \cdot {e^{ - 2x}} \cdot {v^2}, \Rightarrow \frac{{2dv}}{{{v^2}}} = x{e^{ - x}}dx.$

Интегрируем:

$\int {\frac{{2dv}}{{{v^2}}} = \int {x{e^{ - x}}dx.} }$

Левая часть равенства — табличный интеграл, интеграл в правой части находим по формуле интегрирования по частям:

$\int {udv = uv - \int {vdu.} }$

$1)x = u, \Rightarrow du = dx;2)dv = {e^{ - x}}dx, \Rightarrow v = \int {{e^{ - x}}dx = - } {e^{ - x}}dx$

Подставляем найденные v и du по формуле интегрирования по частям имеем:

$\int {x{e^{ - x}}dx = - x} {e^{ - x}} - \int {( - {e^{ - x}})d} x = - x{e^{ - x}} + \int {{e^{ - x}}d} x = - x{e^{ - x}} - {e^{ - x}} + C.$

А так как

$\int {\frac{{2dv}}{{{v^2}}} = - \frac{2}{v}} , \Rightarrow - \frac{2}{v} = - x{e^{ - x}} - {e^{ - x}} + C$

Сделаем С=-С:

$- \frac{2}{v} = - x{e^{ - x}} - {e^{ - x}} - C$

$v = \frac{2}{{x{e^{ - x}} + {e^{ - x}} + C}}.$

4) Так как y=uv, подставляем найденные функции u и v:

$y = {e^{ - x}} \cdot \frac{2}{{x{e^{ - x}} + {e^{ - x}} + C}} = \frac{2}{{{e^x}(x{e^{ - x}} + {e^{ - x}} + C)}} = \frac{2}{{x + 1 + C{e^x}}}.$

Ответ:

$y = \frac{2}{{x + 1 + C{e^x}}}.$

3) Проинтегрировать уравнение x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.

Разделим на x²(x-1)≠0 обе части уравнения и слагаемое с y² перенесем в правую часть:

$y' - \frac{{x - 2}}{{x(x - 1)}}y = \frac{1}{{{x^2}(x - 1)}}{y^2}.$

Это — уравнение Бернулли,

$p(x) = - \frac{{x - 2}}{{x(x - 1)}},q(x) = \frac{1}{{{x^2}(x - 1)}},n = 2.$

1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Как обычно, эти выражения подставляем в первоначальное условие: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) Отсюда x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Группируем слагаемые, содержащие v (v² — не трогаем):

[x²(x-1)u’-x(x-2)u]v+x²(x-1)v’u=u²v² (III). Теперь требуем равенства нулю выражения в скобках: x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, отсюда x²(x-1)u’=x(x-2)u. В уравнении разделяем переменные u и x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на x²(x-1)u≠0:

$\frac{{du}}{u} = \frac{{x(x - 2)dx}}{{{x^2}(x - 1)}}, \Rightarrow \frac{{du}}{u} = \frac{{(x - 2)dx}}{{x(x - 1)}}, \Rightarrow \int {\frac{{du}}{u} = \int {\frac{{(x - 2)dx}}{{x(x - 1)}}.} }$

В левой части уравнения — табличный интеграл. Рациональную дробь в правой части надо разложить на простейшие дроби:

$\frac{{x - 2}}{{x(x - 1)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x - 1}}, \Rightarrow x - 2 = A(x - 1) + Bx.$

При x=1: 1-2=A·0+B·1, откуда B=-1.

При x=0: 0-2=A(0-1)+B·0, откуда A=2.

$\frac{{x - 2}}{{x(x - 1)}} = \frac{2}{x} - \frac{1}{{x - 1}}, \Rightarrow \int {\frac{{du}}{u} = \int {\frac{{2dx}}{x}} } - \int {\frac{{dx}}{{x - 1}}} ,$

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. По свойствам логарифмов: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, откуда u=x²/(x-1).

3) В равенство (III) подставляем [x²(x-1)u’-x(x-2)u]=0 и u=x²/(x-1). Получаем: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,

${x^2}(x - 1)v' \cdot \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} = {(\frac{{{x^2}}}{{x - 1}})^2}{v^2}, \Rightarrow v' = \frac{{{v^2}}}{{{{(x - 1)}^2}}}.$

v’=dv/dx, подставляем:

$\frac{{dv}}{{dx}} = \frac{{{v^2}}}{{{{(x - 1)}^2}}}, \Rightarrow \frac{{dv}}{{{v^2}}} = \frac{{dx}}{{{{(x - 1)}^2}}}, \Rightarrow \int {\frac{{dv}}{{{v^2}}} = \int {\frac{{dx}}{{{{(x - 1)}^2}}}} } ,$