Как решать уравнения, приводимые к уравнениям с разделяющимися переменными

Рассмотрим, как решать уравнения вида y’=f(ax+by+c), где a,b,c — некоторые числа. Это — дифференциальные уравнения, приводимые к уравнениям с разделяющимися переменными.

Такие уравнения приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замены z=ax+by+c. Дифференцируем обе части этого равенства по иксу:

   

Поскольку x’=1, а так как y’=f(ax+by+c), то  y’=f(z).

Соответственно, получаем, что

   

При условии a+bf(z)≠0 переменные можем разделить:

   

Интегрируем полученное уравнение

   

В полученном решении возвращаемся к исходным переменным z=ax+by+c.

Если a+bf(z)=0, то значит, и dz/dx=0, то ax+by+c=С.

Пример

Решить уравнение y’=(x+y+1)².

Решение: Замена z=x+y+1. Тогда dz/dx=1+dy/dx,  а так как dy/dx=y’=(x+y+1)²=z², то dz/dx=1+z². Разделяем переменные, для этого обе части делим на 1+z² (это выражение не равно нулю при любом z) и умножаем на dx:

   

Интегрируем уравнение:

   

откуда

arctgz=x+C. Так как z=x+y+1, то общее решение arctg(x+y+1)=x+C, откуда arctg(x+y+1)-x=C.