Комплексно-сопряженные числа

Что такое комплексно-сопряженные числа? Как комплексно-сопряженные числа изображаются на комплексной плоскости?

Определение.

${z_1} = a + bi$

${z_2} = a - bi,$

у которых действительные части равны, а коэффициенты при мнимой части — противоположные числа, называются комплексно-сопряженными.

(другими словами, комплексонов-сопряженные числа — это комплексные числа, которые отличаются только знаком при мнимой части).

Примеры комплексно-сопряженных чисел:

$1)5 + 8i$

${\rm{5 - 8i;}}$

${\rm{2) - }}\frac{3}{5} + \frac{2}{9}i$

${\rm{ - }}\frac{3}{5} - \frac{2}{9}i;$

3)10i и -10i.

Свойства комплексно сопряженных чисел

1) Действительное число является комплексно-сопряженным самому себе, так как a+0i=a-0i.

2) Сумма комплексно- сопряженных чисел — действительное число:

(a+bi)+(a-bi)=(a+a)+(b-b)i=2a.

3) Разность комплексно-сопряженных чисел — мнимое число:

(a+bi)-(a-bi)=(a-a)+(b+b)i=2bi.

4) Произведение комплексно-сопряженных чисел — действительное число:

(a+bi)∙(a-bi)=a²-abi+abi-bi²=a²+b².

Изображение комплексно-сопряженных чисел на плоскости

На комплексной плоскости z1=a+bi и z2=a-bi изображаются

1) точками, симметричными относительно действительной оси ox.

Например, z1= — 6+3i и z2= — 6-3i; z3=0+2i и z4=0-2i; z5=5+0i и z6=5-0i.

2) векторами, симметричными относительно действительной оси ox.

Например, z1= 0+4i и z2= 0-4i; z3= 5+2i и z4= 5-2i; z5= — 6+0i и z6=- 6-0i.