Математика

примеры с решениями

Производная степени

Производная степени встречается в большинстве примеров на дифференцирование. Само правило нахождения производной степени простое. При дифференцировании степени с натуральным показателем проблем, как правило, не возникает. А вот найти производную степени с отрицательным или дробным показателями несколько сложнее. Легче всего понять, как найти производную степени, на примерах.

Открываем таблицу производных и правила дифференцирования.

Основная формула, по которой  может быть найдена производная любой степени —

    \[({x^n})' = n{x^{n - 1}}\]

Примеры. Найти производную степени:

    \[1)y = {x^6}, \Rightarrow y' = ({x^6})' = 6{x^5}\]

    \[2)y = {x^{17}}, \Rightarrow y' = ({x^{17}})' = 17{x^{16}}.\]

Поскольку при дифференцировании число выносится за знак производной, то множитель, стоящий перед степенью, при нахождении производной просто переписываем:

    \[3)y = 5{x^{100}}, \Rightarrow y' = (5{x^{100}})' = 5 \cdot 100{x^{99}} = 500{x^{99}}\]

    \[4)y = \frac{4}{9}{x^{20}}, \Rightarrow y' = (\frac{4}{9}{x^{20}})' = \frac{4}{9} \cdot 20{x^{19}} = \frac{{80}}{9}{x^{19}}.\]

Нахождение производной степени, стоящей в знаменателе дроби, немного сложнее. Прежде чем воспользоваться основной формулой, степень поднимаем из числителя в знаменатель. Получившуюся в результате вычислений степень с отрицательным показателем снова преобразовываем.

    \[5)y = \frac{1}{{{x^{14}}}} = {x^{ - 14}}, \Rightarrow y' = {({x^{ - 14}})^\prime } = - 14\cdot{x^{ - 14 - 1}} = \]

    \[ = - 14{x^{ - 15}} = - \frac{{14}}{{{x^{15}}}};\]

    \[6)y = \frac{{10}}{{{x^{21}}}} = 10{x^{ - 21}}, \Rightarrow y' = {(10{x^{ - 21}})^\prime } = \]

    \[ = 10\cdot( - 21{x^{ - 21 - 1}}) = - 210{x^{ - 22}} = - \frac{{210}}{{{x^{22}}}};\]

    \[7)y = \frac{2}{{3{x^{40}}}} = \frac{2}{3}{x^{ - 40}},y' = (\frac{2}{3}{x^{ - 40}})' = \frac{2}{3} \cdot ( - 40{x^{ - 40 - 1}}) = \]

    \[ = - \frac{{80}}{3}{x^{ - 41}} = - \frac{{80}}{{3{x^{41}}}}.\]

Производная степени используется и для дифференцирования корней. Предварительно корень приводится к степени, а в найденной производной снова возвращаемся к корню.

Например,

    \[8)y = \sqrt[9]{{{x^5}}} = {x^{\frac{5}{9}}}, \Rightarrow y' = ({x^{\frac{5}{9}}})' = \frac{5}{9}{x^{\frac{5}{9} - 1}} = \]

    \[ = \frac{5}{9}{x^{ - \frac{4}{9}}} = \frac{5}{{9{x^{\frac{4}{9}}}}} = \frac{5}{{9\sqrt[9]{{{x^4}}}}};\]

    \[9)y = 5\sqrt[{10}]{{{x^3}}} = 5 \cdot {x^{\frac{3}{{10}}}}, \Rightarrow y' = (5 \cdot {x^{\frac{3}{{10}}}})' = 5 \cdot \frac{3}{{10}} \cdot {x^{\frac{3}{{10}} - 1}} = \]

    \[ = \frac{3}{2}{x^{ - \frac{7}{{10}}}} = \frac{3}{{2{x^{\frac{7}{{10}}}}}} = \frac{3}{{2\sqrt[{10}]{{{x^7}}}}};\]

    \[10)y = 6\sqrt[3]{x} = 6 \cdot {x^{\frac{1}{3}}}, \Rightarrow y' = (6 \cdot {x^{\frac{1}{3}}})' = 6 \cdot \frac{1}{3} \cdot {x^{\frac{1}{3} - 1}} = \]

    \[ = 2{x^{ - \frac{2}{3}}} = \frac{2}{{{x^{\frac{2}{3}}}}} = \frac{2}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}.\]

Если корень в знаменателе, сначала преобразовываем его в степень, затем — поднимаем наверх с отрицательным показателем, а  далее — как обычно, производная степени.

Например,

    \[11)y = \frac{1}{{\sqrt[8]{{{x^5}}}}} = \frac{1}{{{x^{\frac{5}{8}}}}} = {x^{ - \frac{5}{8}}}, \Rightarrow y' = ({x^{ - \frac{5}{8}}})' = \]

    \[ = - \frac{5}{8} \cdot {x^{ - \frac{5}{8} - 1}} = - \frac{5}{8} \cdot {x^{ - \frac{{13}}{8}}} = - \frac{5}{{8{x^{\frac{{13}}{8}}}}} = - \frac{5}{{8\sqrt[8]{{{x^{13}}}}}};\]

    \[12)y = \frac{4}{{\sqrt[6]{{{x^5}}}}} = 4 \cdot {x^{ - \frac{5}{6}}}, \Rightarrow y' = (4 \cdot {x^{ - \frac{5}{6}}})' = \]

    \[ = 4 \cdot ( - \frac{5}{6}{x^{ - \frac{5}{6} - 1}}) = - \frac{{10}}{3}{x^{ - \frac{{11}}{6}}} = - \frac{{10}}{{3{x^{\frac{{11}}{6}}}}} = - \frac{{10}}{{3\sqrt[6]{{{x^{11}}}}}};\]

    \[13)y = \frac{1}{{5\sqrt[{11}]{{{x^2}}}}} = \frac{1}{5}{x^{ - \frac{2}{{11}}}}, \Rightarrow y' = (\frac{1}{5}{x^{ - \frac{2}{{11}}}})' = \]

    \[ = \frac{1}{5} \cdot ( - \frac{2}{{11}}){x^{ - \frac{2}{{11}} - 1}} = - \frac{2}{{55}}{x^{ - \frac{{13}}{{11}}}} = - \frac{2}{{55{x^{\frac{{13}}{{11}}}}}} = - \frac{2}{{55\sqrt[{11}]{{{x^{13}}}}}};\]

    \[14)y = \frac{3}{{5\sqrt[7]{{{x^4}}}}} = \frac{3}{5}{x^{ - \frac{4}{7}}}, \Rightarrow y' = (\frac{3}{5}{x^{ - \frac{4}{7}}})' = \]

    \[ = \frac{3}{5} \cdot ( - \frac{4}{7}{x^{ - \frac{4}{7} - 1}}) = - \frac{{12}}{{35}}{x^{ - \frac{{11}}{7}}} = - \frac{{12}}{{35{x^{\frac{{11}}{7}}}}} = - \frac{{12}}{{35\sqrt[7]{{{x^{11}}}}}}.\]

Примеры для самопроверки. Найти производную степени:

    \[1)y = 5{x^{12}};2)y = \frac{3}{{{x^8}}};3)y = 5\sqrt[{12}]{{{x^7}}};4)y = \frac{3}{{\sqrt[{16}]{{{x^5}}}}}.\]

Показать решение

 

8 Comments

  1. Айгуль:
    26.02.2013 в 9:25 пп

    Огромное Вам спасибо за ваш проделанный труд! Здоровья и удачи Вам!

    Ответить
  2. admin:
    02.03.2013 в 6:54 дп

    Спасибо за теплые слова, Айгуль! Успехов Вам в учебе!

    Ответить
  3. Дмитрий:
    15.01.2014 в 11:04 пп

    Спасибо огромное за толковое объяснение!

    Ответить
    1. admin:
      15.01.2014 в 11:31 пп

      Дмитрий, я рада, что мое объяснение Вам пригодилось!

      Ответить
  4. Анжела:
    11.02.2014 в 3:55 пп

    Уважаемый администратор, не сочтите за наглость, но вы не могли бы мне помочь и объяснить мне решения конкретно по моим примерам? Я была бы вам еще больше благодарна. Дело в том что я прекрасно понимаю то что объясняете вы но все равно не могу решить свои примеры…. Каким бы не был ваш ответ пожалуйста напишите, что бы я знала на что я могу рассчитывать.

    Ответить
    1. admin:
      11.02.2014 в 3:59 пп

      Давайте Ваши примеры. Но со временем у меня напряженно. Когда смогу, тогда объясню.

      Ответить
  5. Анжела:
    11.02.2014 в 5:08 пп

    Куда я могу вам скинуть фото с заданием?

    Ответить
    1. admin:
      12.02.2014 в 1:52 дп

      Я Вам отправила письмо на e-mail

      Ответить

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *