Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка — это уравнения вида y’+p(x)y=q(x). То есть, это уравнение 1й степени относительно y и y’.

Примеры линейных ДУ первого порядка: 

1) y’+y=x. Здесь p(x)=1, q(x)=x.

2) y’-ytgx=ctgx.  p(x)=-tgx, q(x)=ctgx.

3) y’+x²y=x².  p(x)=x², q(x)=x².

Все эти уравнения записаны в стандартном виде. А следующие уравнения надо сначала преобразовать, чтобы прийти к такому  виду.

1)  xy’+y=3. Делим обе части уравнения на x (при этом приходится накладывать дополнительное условие x≠0 и затем не забыть его учесть при записи ответа). Получаем: y’+y/x=3/x. Здесь p(x)=1/x, q(x)=3/x.

2) y’cosx-ysinx-sin2x=0. Переносим sin2x в правую часть и расписываем его по формуле синуса двойного аргумента: sin2x=2sinxcosx: y’cosx-ysinx=2sinxcosx. Теперь делим обе части уравнения на cosx≠0:     y’-ytgx=2sinx. Здесь p(x)=-tgx, q(x)=2sinx.

3) (1+x²)y’+y=artgx.   Делим обе части на 1+x²≠0 (это выражение отлично от нуля при любых значениях х, потери корней нет):           y’+y/(1+x²)=artgx/(1+x²).  p(x)=1/(1+x²), q(x)=artgx/(1+x²).

Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка возможно двумя способами. Первый способ — с помощью подстановки  y=uv, — где u=u(x), v=v(x) — новые неизвестные функции от x. Этот способ называется метод Бернулли, и именно с него мы и начнем решение линейных ДУ первого порядка. Второй способ — метод вариации произвольной постоянной — разберем позже.

Итак, рассмотрим в общем виде решение уравнений y’+p(x)y=q(x) 1м способом.

Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли

y’+p(x)y=q(x)

1) Пусть y=uv, — где u=u(x), v=v(x) — новые неизвестные функции от x. Находим y’  по правилу дифференцирования: y’=(uv)’=u’v+v’u. Подставляя полученные выражения в условие, имеем:

u’v+v’u+p(x)uv=q(x).

2) Сгруппируем слагаемые с v:

[u’+p(x)u]v+v’u=q(x).                                    (*)

Функции u и v по условию — некоторые произвольные функции. Потребуем,  чтобы u’+p(x)u=0, и из этого условия найдем u (u’+p(x)u=0 — уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x).

3) Следующий этап — в уравнение (*)  подставляем u’+p(x)u=0 и найденное значение u=u*. При этом получим некоторое уравнение вида

v’u*=p(x). Из этого уравнения найдем v=v*.

4) Так как y=uv, то подставляя найденные функции u=u* и v=v*, приходим к ответу y=u*v*.

(Замечание.  Можно было бы при получении уравнения вида (*) группировать слагаемые с u и найти v. А затем искать u. При любом способе придется брать одни и те же интегралы).

Мы рассмотрели решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли в общем виде. Следующий шаг — примеры решения линейных ДУ этим способом.

Если правая часть уравнения содержит степень y: y’ + p(x)y = q(x)y^n, где n≠0,n≠1, то такое уравнение называется уравнением Бернулли. Решение уравнения Бернулли мы рассмотрим отдельным пунктом.