Уравнения в полных дифференциалах решаются довольно просто. В связи с этим возникает вопрос — а нельзя ли, если левая часть уравнения P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 (I) не является полным дифференциалом, умножив обе части уравнения на некоторый множитель µ(x;y), привести его к уравнению в полных дифференциалах?
Функция µ(x;y) называется интегрирующим множителем. К сожалению, общего метода нахождения интегрирующего множителя не существует. Его можно найти только в некоторых случаях.
Если µ=µ(x;y) — интегрирующий множитель уравнения (I), то уравнение µPdx+µQdy=0 является уравнением в полных дифференциалах. А значит, для него выполняется условие
![\[\frac{{\partial (P\mu )}}{{\partial y}} = \frac{{\partial (Q\mu )}}{{\partial x}}, \Rightarrow \mu \frac{{\partial P}}{{\partial y}} + P\frac{{\partial \mu }}{{\partial y}} = \mu \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} + Q\frac{{\partial \mu }}{{\partial x}},\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ca195764b496253dd3dea6ac049ea186_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \Rightarrow P\frac{{\partial \mu }}{{\partial y}} - Q\frac{{\partial \mu }}{{\partial x}} = \mu (\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}}),\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ed175f16edb2e8872eb21ea2771bebc9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \Rightarrow P\frac{{\partial \mu }}{{\mu \partial y}} - Q\frac{{\partial \mu }}{{\mu \partial x}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}},\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b77ae9c50b09140d3d4b7ead73befc6b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
и, с учетом того, что (lnµ)’=1/µ, получаем, что ∂µ/µ∂y=∂(lnµ)/∂y, а ∂µ/µ∂x=∂(lnµ)/∂x. Отсюда
![\[P\frac{{\partial \ln \mu }}{{\partial y}} - Q\frac{{\partial \ln \mu }}{{\partial x}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}}(II).\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5a302435d80b5e479f5aabcbc428f19c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Таким образом, чтобы найти интегрирующий множитель µ, нужно найти какое-либо частное решение уравнения (II). Обычно на практике рассматривают два случая, для которых уравнение (II) упрощается и интегрирующий множитель можно легко найти.
1. Если интегрирующий множитель µ зависит только от переменной x, то есть µ=µ(x), тогда ∂(lnµ)/∂y=0 и выражение 1/Q(∂P/∂y-∂Q/∂x) не зависит от x. Для отыскания µ нужно решить обыкновенное дифференциальное уравнение
![\[\frac{{\partial \ln \mu }}{{\partial x}} = \frac{1}{Q}(\frac{{\partial P}}{{\partial y}} - \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}).\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea4a7de7fdc251050bacb9c2b9520de9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2. Если интегрирующий множитель µ зависит только от переменной y, то есть µ=µ(y), тогда ∂(lnµ)/∂x=0 и выражение 1/P(∂Q/∂x-∂P/∂y) не зависит от x. Интегрирующий множитель µ находят из уравнения
![\[\frac{{\partial \ln \mu }}{{\partial y}} = \frac{1}{P}(\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}}).\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7fb5db73ec98974ad8f0bf08bfe9bb10_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Перейдем к рассмотрению примеров на нахождение интегрирующего множителя и решение полученного уравнения в полных дифференциалах для этих случаев.